Tri Thức

Tìm Điều Kiện Của A,B, C Để Hệ Phương Trình Tuyến Tính Thuần Nhất Thần Thượng

By admin-ttmn Jan 8, 2023

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $left{ egin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + … + {a_{1n}}{x_1} = 0 hfill \ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + … + {a_{2n}}{x_n} = 0 hfill \ … hfill \ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + … + {a_{mn}}{x_n} = 0 hfill \ end{gathered}
ight..$

Với $A = left( {egin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{…}&{{a_{1n}}} \ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{…}&{{a_{2n}}} \ {…}&{…}&{…}&{…} \ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{…}&{{a_{mn}}} end{array}}
ight),X = left( {egin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ {…} \ {{x_n}} end{array}}
ight),O = left( {egin{array}{*{20}{c}} 0 \ 0 \ {…} \ 0 end{array}}
ight).$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+…+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=…={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Đang xem: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

QAt
P6n.png” alt=”*”>

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ví dụ 1:Tìm $a$ để hệ phương trình $left{ egin{array}{l} (a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0\ ax + (a – 1)y + 4z = 0\ (a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0 end{array}
ight.$ có nghiệmkhông tầm thường.

Giải.Ta có yêu cầu bài toán tương đương với $left| {egin{array}{*{20}{c}} {a + 5}&3&{2a + 1}\ a&{a – 1}&4\ {a + 5}&{a + 2}&5 end{array}}
ight| = 0 Leftrightarrow – 3{a^2} – 3a = 0 Leftrightarrow a = 0;a = – 1.$

Ví dụ 2:Tìm $m$ để hệ phương trình $left{ egin{array}{l} {x_1} – m{x_2} + {x_3} – (m + 3){x_4} = 0\ 2{x_1} + {x_2} – 4{x_3} + 7{x_4} = 0\ m{x_1} + 4{x_2} + 2{x_3} – m{x_4} = 0\ {x_1} – {x_2} – m{x_3} – 2({m^2} + 1){x_4} = 0 end{array}
ight.$ có nghiệm khôngtầm thường.

Giải.Ta có yêu cầu bài toán tương đương với

Ta có biến đổi định thức:

<egin{gathered} left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \ 2&1&{ - 4}&7 \ m&4&2&{ - m} \ 1&{ - 1}&{ - m}&{ - 2({m^2} + 1)} end{array}} ight| = left| {egin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \ 0&{2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \ 0&{{m^2} + 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \ 0&{m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} end{array}} ight|left( {egin{array}{*{20}{c}} {{mathbf{ - 2}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{2}}}} \ {{mathbf{ - m}}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{3}}}} \ {{mathbf{ - }}{{mathbf{d}}_{mathbf{1}}}{mathbf{ + }}{{mathbf{d}}_{mathbf{4}}}} end{array}} ight) hfill \ = left| {egin{array}{*{20}{c}} {2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \ {{m^2} - 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \ {m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} end{array}} ight| = - 8{m^4} - 14{m^3} - 58{m^2} - 52m. hfill \ end{gathered} >

Vậy <-8{{m}^{4}}-14{{m}^{3}}-58{{m}^{2}}-52m=0Leftrightarrow m=0;m=-1.>

Ví dụ 3:Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

$left{ egin{array}{l} 2{x_1} + 3{x_2} – 2{x_3} = (m + 1){x_1} – (4 – m){x_2} + (m + 3){x_3}\ {x_1} + {x_2} + 2{x_3} = (m + 3){x_1} + (m – 1){x_2} + (m + 2){x_3}\ – {x_1} + 2{x_2} – {x_3} = (m + 2){x_1} – (2 – m){x_2} + m{x_3} end{array}
ight..$

Giải.Hệ tương đương với: $left{ egin{array}{l} (m – 1){x_1} + (m – 7){x_2} + (m + 5){x_3} = 0\ (m + 2){x_1} + (m – 2){x_2} + m{x_3} = 0\ (m + 3){x_1} + (m – 4){x_2} + (m + 1){x_3} = 0 end{array}
ight..$

Vậy $ycbt Leftrightarrow left| {egin{array}{*{20}{c}} {m – 1}&{m – 7}&{m + 5}\ {m + 2}&{m – 2}&m\ {m + 3}&{m – 4}&{m + 1} end{array}}
ight|
e 0 Leftrightarrow 6 – 24m
e 0 Leftrightarrow m
e dfrac{1}{4}.$

Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $ker (A) = left{ {X = left( {egin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \ {{x_2}} \ {…} \ {{x_n}} end{array}}
ight) in {mathbb{R}^n}|AX = O}
ight}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Xem thêm: Reality warping – năng lực là gì wikipedia

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $dimleft( ker (A)
ight)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Phép nhân ma trận và các tính chất

Ví dụ 1:Cho hệ phương trình tuyến tính 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng:

a) Bộ số $(1992,1993,…,2002)$ là một nghiệm của hệ phương trình;

b) Khi xoá đi cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ thì được một ma trận vuông có định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11).

Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

i) Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho có bao nhiêu véctơ?

ii) Hãy tìm một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho

iii) Hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải.Xét ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{10 imes 11}}.$ Hệ phương trình đã cho là $AX=B.$

Ta có $r(A) leqslant min left{ {10,11}
ight} = 10$ và theo giả thiết b) thì $D_{12…10}^{12…10}=11
e 0Rightarrow r(A)=10.$ Do đó hệ phương trình thuần nhất $AX=O$ có hệ nghiệm cơ bản chỉ gồm một véctơ ${{P}_{1}}=({{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{11}}).$ Mặt khác theo giả thiết a) bộ số $(1992,1993,…,2002)$ là một nghiệm riêng của hệ phương trình $AX=B.$ Do đó mọi nghiệm của hệ phương trình $AX=B$ có dạng $({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{11}})=(1992,1993,…,2002)+({{a}_{1}},{{a}_{2}},…,{{a}_{11}})t,tin mathbb{R}.$

Gọi $C$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$ bằng cách thêm dòng thứ $i$ của ma trận $A$ vào ngay phía trên dòng đầu tiên của ma trận $A.$

Ta có $C = left( {egin{array}{*{20}{c}} {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}&{…}&{{a_{i11}}} \ {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{…}&{{a_{111}}} \ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{…}&{{a_{211}}} \ {…}&{…}&{…}&{…} \ {{a_{101}}}&{{a_{102}}}&{…}&{{a_{1011}}} end{array}}
ight).$

Khai triển định thức ma trận $C$ theo dòng đầu tiên và khai thác giả thiết b) ta có:

$det (C)=1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+…-10.{{a}_{i10}}+11.{{a}_{i11}}.$

Mặt khác $C$ có hai dòng giống nhau nên $det (C)=0Leftrightarrow 1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+…-10.{{a}_{i10}}+11{{a}_{i11}}=0.$

Điều đó chứng tỏ $(1,-2,3,…,-10,11)$ là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất $AX=O.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $({{x}_{1}},{{x}_{2}},…,{{x}_{11}})=(1992,1993,…,2002)+(1,-2,…,11)t=(19992+t,1993-2t,…,2002+11t),tin mathbb{R}.$

*Chú ý ta sử dụng kiến thức sau:

Xét hai hệ phương trình $AX=B(1);AX=O(2)$ có $A={{({{a}_{ij}})}_{m imes n}},r(A)=r.$

+) ${{X}_{0}}$ là một nghiệm riêng của (1);

+) $left{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},…,{{P}_{n-r}}
ight}$ là một hệ nghiệm cơ bản của (2);

Khi đó nghiệm của (1) là $X={{X}_{0}}+{{t}_{1}}{{P}_{1}}+{{t}_{2}}{{P}_{2}}+…+{{t}_{n-r}}{{P}_{n-r}}.$

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tạiđây

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png” alt=”*”>