Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

      54

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),O = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {...} \\ 0 \end{array}} \right).$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

QAt
P6n.png" alt="*">

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ví dụ 1:Tìm $a$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (a + 5)x + 3y + (2a + 1)z = 0\\ ax + (a - 1)y + 4z = 0\\ (a + 5)x + (a + 2)y + 5z = 0 \end{array} \right.$ có nghiệmkhông tầm thường.

Giải.Ta có yêu cầu bài toán tương đương với $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a + 5}&3&{2a + 1}\\ a&{a - 1}&4\\ {a + 5}&{a + 2}&5 \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow - 3{a^2} - 3a = 0 \Leftrightarrow a = 0;a = - 1.$

Ví dụ 2:Tìm $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} - m{x_2} + {x_3} - (m + 3){x_4} = 0\\ 2{x_1} + {x_2} - 4{x_3} + 7{x_4} = 0\\ m{x_1} + 4{x_2} + 2{x_3} - m{x_4} = 0\\ {x_1} - {x_2} - m{x_3} - 2({m^2} + 1){x_4} = 0 \end{array} \right.$ có nghiệm khôngtầm thường.

Giải.Ta có yêu cầu bài toán tương đương với \<\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3}\\ 2&1&{ - 4}&7\\ m&4&2&{ - m}\\ 1&{ - 1}&{ - m}&{ - 2({m^2} + 1)} \end{array}} \right| = 0.\>

Ta có biến đổi định thức:

\<\begin{gathered} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \\ 2&1&{ - 4}&7 \\ m&4&2&{ - m} \\ 1&{ - 1}&{ - m}&{ - 2({m^2} + 1)} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - m}&1&{ - m - 3} \\ 0&{2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \\ 0&{{m^2} + 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \\ 0&{m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} \end{array}} \right|\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}} \\ {{\mathbf{ - m}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}} \\ {{\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}} \end{array}} \right) \hfill \\ = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {2m + 1}&{ - 6}&{2m + 13} \\ {{m^2} - 4}&{ - m + 2}&{{m^2} + 2m} \\ {m - 1}&{ - m - 1}&{ - 2{m^2} + m + 1} \end{array}} \right| = - 8{m^4} - 14{m^3} - 58{m^2} - 52m. \hfill \\ \end{gathered} \>

Vậy \<-8{{m}^{4}}-14{{m}^{3}}-58{{m}^{2}}-52m=0\Leftrightarrow m=0;m=-1.\>

Ví dụ 3:Tìm $m$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x_1} + 3{x_2} - 2{x_3} = (m + 1){x_1} - (4 - m){x_2} + (m + 3){x_3}\\ {x_1} + {x_2} + 2{x_3} = (m + 3){x_1} + (m - 1){x_2} + (m + 2){x_3}\\ - {x_1} + 2{x_2} - {x_3} = (m + 2){x_1} - (2 - m){x_2} + m{x_3} \end{array} \right..$

Giải.Hệ tương đương với: $\left\{ \begin{array}{l} (m - 1){x_1} + (m - 7){x_2} + (m + 5){x_3} = 0\\ (m + 2){x_1} + (m - 2){x_2} + m{x_3} = 0\\ (m + 3){x_1} + (m - 4){x_2} + (m + 1){x_3} = 0 \end{array} \right..$

Vậy $ycbt \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1}&{m - 7}&{m + 5}\\ {m + 2}&{m - 2}&m\\ {m + 3}&{m - 4}&{m + 1} \end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow 6 - 24m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{4}.$

Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $\ker (A) = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right) \in {\mathbb{R}^n}|AX = O} \right\}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $\ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Xem thêm: Reality warping - năng lực là gì wikipedia

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $\dim\left( \ker (A) \right)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tínhPhép nhân ma trận và các tính chất

Ví dụ 1:Cho hệ phương trình tuyến tính 10 phương trình và 11 ẩn số. Biết rằng:

a) Bộ số $(1992,1993,...,2002)$ là một nghiệm của hệ phương trình;

b) Khi xoá đi cột thứ j trong ma trận hệ số của hệ thì được một ma trận vuông có định thức đúng bằng j (j = 1, 2, …, 11).

Hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:

i) Hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho có bao nhiêu véctơ?

ii) Hãy tìm một nghiệm không tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ đã cho

iii) Hãy tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải.Xét ma trận $A={{({{a}_{ij}})}_{10\times 11}}.$ Hệ phương trình đã cho là $AX=B.$

Ta có $r(A) \leqslant \min \left\{ {10,11} \right\} = 10$ và theo giả thiết b) thì $D_{12...10}^{12...10}=11\ne 0\Rightarrow r(A)=10.$ Do đó hệ phương trình thuần nhất $AX=O$ có hệ nghiệm cơ bản chỉ gồm một véctơ ${{P}_{1}}=({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{11}}).$ Mặt khác theo giả thiết a) bộ số $(1992,1993,...,2002)$ là một nghiệm riêng của hệ phương trình $AX=B.$ Do đó mọi nghiệm của hệ phương trình $AX=B$ có dạng $({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{11}})=(1992,1993,...,2002)+({{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{11}})t,t\in \mathbb{R}.$

Gọi $C$ là ma trận nhận được từ ma trận $A$ bằng cách thêm dòng thứ $i$ của ma trận $A$ vào ngay phía trên dòng đầu tiên của ma trận $A.$

Ta có $C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{i1}}}&{{a_{i2}}}&{...}&{{a_{i11}}} \\ {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{111}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{211}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{101}}}&{{a_{102}}}&{...}&{{a_{1011}}} \end{array}} \right).$

Khai triển định thức ma trận $C$ theo dòng đầu tiên và khai thác giả thiết b) ta có:

$\det (C)=1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+...-10.{{a}_{i10}}+11.{{a}_{i11}}.$

Mặt khác $C$ có hai dòng giống nhau nên $\det (C)=0\Leftrightarrow 1.{{a}_{i1}}-2.{{a}_{i2}}+3.{{a}_{i3}}+...-10.{{a}_{i10}}+11{{a}_{i11}}=0.$

Điều đó chứng tỏ $(1,-2,3,...,-10,11)$ là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất $AX=O.$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $({{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{11}})=(1992,1993,...,2002)+(1,-2,...,11)t=(19992+t,1993-2t,...,2002+11t),t\in \mathbb{R}.$

*Chú ý ta sử dụng kiến thức sau:

Xét hai hệ phương trình $AX=B(1);AX=O(2)$ có $A={{({{a}_{ij}})}_{m\times n}},r(A)=r.$

+) ${{X}_{0}}$ là một nghiệm riêng của (1);

+) $\left\{ {{P}_{1}},{{P}_{2}},...,{{P}_{n-r}} \right\}$ là một hệ nghiệm cơ bản của (2);

Khi đó nghiệm của (1) là $X={{X}_{0}}+{{t}_{1}}{{P}_{1}}+{{t}_{2}}{{P}_{2}}+...+{{t}_{n-r}}{{P}_{n-r}}.$

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 - 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tạiđây

Combo 4 Khoá Luyện thi THPT Quốc Gia 2023 Môn Toán dành cho teen 2K5

Fj
QXMYs7.png" alt="*">

Bạn đang xem: Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ? Tại Trường Trung cấp, Cao đẳng, Đại học Xây dựng tại TPHCM – Sài Gòn

Bạn đang quan tâm đến Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ? phải không? Nào hãy cùng ttmn.mobi đón xem bài viết này ngay sau đây nhé, vì nó vô cùng thú vị và hay đấy!


1 – Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $left{ begingathered a_11x_1 + a_12x_2 + … + a_1nx_1 = 0 hfill a_12x_1 + a_22x_2 + … + a_2nx_n = 0 hfill … hfill a_m1x_1 + a_m2x_2 + … + a_mnx_n = 0 hfill endgathered right..$

Với $A = left( beginarray*20c a_11&a_12&…&a_1n a_21&a_22&…&a_2n …&…&…&… a_m1&a_m2&…&a_mn endarray right),X = left( beginarray*20c x_1 x_2 … x_n endarray right),O = left( beginarray*20c 0 0 … 0 endarray right).$

Bạn đang xem: Nghiệm tầm thường là gì

Hệ phương trình đã cho khả năng được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho khả năng được viết dưới dạng véctơ $x_1A_1^c+x_2A_2^c+…+x_n
A_n^c=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau vì thế nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm $x_1=x_2=…=x_n=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

*
Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ?

2 – Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

3 – Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $ker (A) = left{ {X = left( beginarray*20c x_1 x_2 … x_n endarray right) in mathbb
R^n|AX = O} right}$ là một không gian con của không gian véctơ $mathbb
R^n$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $dimleft( ker (A) right)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 – 2021 bảng A tỉnh Nghệ An.


Vậy là đến đây bài viết về Nghiệm Tầm Thường Là Gì ? Nghiệm Không Tầm Thường là gì ? đã dừng lại rồi. Hy vọng bạn luôn theo dõi và đọc những bài viết hay của chúng tôi trên website ttmn.mobi